結論から言うとログアウト処理の以下の行を削除すればOK。
$request->session()->invalidate(); // セッション情報削除
これはセッション情報を削除してセッション固定攻撃を防ぐものなので削除しても良いのか??
もちろん削除しない方が良い。
しかし、以下の処理を行っていれば大丈夫だと思われる。
$request->session()->regenerateToken(); // セッションID再生成
同じブラウザからマルチログイン時の話なので、invalidate()してregenerateToken()をしておけば良いと思うけど、それでもログアウトされると面倒いと思われる方は、自己責任でinvalidate()は削除すれば良いと思う。